Calculs — Équilibre, dépense totale, taxe et prix réglementés

Sur le marché des places d’un festival, la quantité demandée s’écrit Qd = 1 200 − 10 P et la quantité offerte Qo = 200 + 10 P, où P est le prix en euros et Q un nombre de places. Répondez avec deux décimales au maximum ; le séparateur décimal peut être la virgule ou le point.

1. Quel est le prix d’équilibre de ce marché, en euros ?

   Réponse €

   Correction

   Réponse : 50 €

   À l’équilibre, Qd = Qo, soit 1 200 − 10 P = 200 + 10 P. On regroupe : 1 000 = 20 P, donc P = 50 €. C’est le seul prix pour lequel personne n’est rationné.

2. Quelle est la quantité d’équilibre, en nombre de places ?

   Réponse places

   Correction

   Réponse : 700 places

   Il suffit de remplacer P par 50 dans l’une des deux équations : Qd = 1 200 − 10 × 50 = 700 places. La vérification par l’autre équation donne bien 200 + 10 × 50 = 700.

3. Quelle est la dépense totale des spectateurs à l’équilibre, en euros ?

   Réponse €

   Correction

   Réponse : 35000 €

   Dépense totale = prix × quantité = 50 × 700 = 35 000 €. Cette dépense des acheteurs est exactement la recette des organisateurs : sur un marché, la dépense des uns est la recette des autres.

4. Les pouvoirs publics imposent un prix plafond de 40 € la place. Quelle est l’ampleur de la pénurie, en nombre de places ?

   Réponse places

   Correction

   Réponse : 200 places

   À 40 €, Qd = 1 200 − 400 = 800 et Qo = 200 + 400 = 600. La demande excède l’offre de 800 − 600 = 200 places : 200 spectateurs prêts à payer 40 € ne trouveront pas de billet.

5. Les organisateurs s’entendent au contraire sur un prix minimal de 70 € la place. Combien de places resteront invendues ?

   Réponse places

   Correction

   Réponse : 400 places

   À 70 €, Qo = 200 + 700 = 900 et Qd = 1 200 − 700 = 500. L’offre excède la demande de 900 − 500 = 400 places : un prix plancher fait apparaître un excédent, symétrique de la pénurie provoquée par un prix plafond.

6. L’État instaure une taxe de 15 € par place vendue, versée par les organisateurs. La nouvelle offre s’écrit alors Qo = 50 + 10 P. Quel est le nouveau prix d’équilibre, en euros ?

   Réponse €

   Correction

   Réponse : 57.5 €

   1 200 − 10 P = 50 + 10 P donne 1 150 = 20 P, soit P = 57,50 €. Le prix payé par le spectateur n’augmente que de 7,50 € alors que la taxe est de 15 € : la charge est partagée entre l’acheteur et le vendeur, et la quantité échangée tombe à 625 places.